Найти общий интеграл дифференциального уравнения (3×2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0

общий интеграл дифференциального уравнения

Задание 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0.

Решение задачи

Уравнение в полных дифференциалах ​\( M(x,y)\mathrm{d}y+N(x,y)\mathrm{d}x=0 \)

Где ​\( M(x,y)=4y^3+6x^2y \)​ и ​\( N(x,y)=6xy^2+3x^2 \)

Проверка на полный дифференциал:

\( M(x,y)_x’=N(x,y)_y’=12xy \)

Найдём F(x,y):

\( \mathrm{d}F(x,y)=F_y’\mathrm{d}y+F_x’\mathrm{d}x \)

\( F(x,y)=\int{N(x,y)\mathrm{d}x}=\int{6xy^2+3x^2\mathrm{d}x}=x^3+3x^2y^2+C_y \)

\( (x^3+3x^2y^2)_y’=6x^2y \)

\( C_y=\int{M(x,y)-(x^3+3x^2y^2)_y’}\mathrm{d}y=\int{4y^3\mathrm{d}y}=y^4 \)

Получим решение:

\( F(x,y)=x^3+3x^2y^2+C_y=y^4+x^3+3x^2y^2 \)

\( y^4+x^3+3x^2y^2=C \)​, где C — константа

Ответ к задаче

Ответ: y4+3x2y2=C-x3.

Читайте также:  В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.