Задание 1. Решите дифференциальное уравнение y’ctgx=ctgy.
Решение задачи
Разделим обе части на ctgx:
\( y’=\frac{ctgy}{ctgx} \)
Преобразуем \( y'(x)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \)
\( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ctgy}{ctgx} \)
Домножим на дифференциал dx:
\( \mathrm{d}y=\frac{ctgy\mathrm{d}x}{ctgx} \)
Разделим обе части на ctgy:
\( \frac{\mathrm{d}y}{ctgy}=\frac{\mathrm{d}x}{ctgx} \)
При делении теряется решение \( y=\frac{\pi}{2} \)
Проинтегрируем обе части уравнения:
\( \int\frac{1}{ctgy}\mathrm{d}y=\int\frac{1}{ctgx}\mathrm{d}x \)
Вычислим интегралы:
\( \ln(\cos{y})=\ln(\cos{x})+C \)
Используем формулу \( e^{\ln{\alpha}}=\alpha \):
\( \cos{y}=e^C\cos{x} \)
\( y=\arccos(C\cos{x}) \)
Ответ к задаче
Ответ: y=arccos(Ccosx), решение y=π/2 входит в решение при C=0.
