Решите дифференциальное уравнение y’ctgx=ctgy

решите дифференциальное уравнение

Задание 1. Решите дифференциальное уравнение y’ctgx=ctgy.

Решение задачи

Разделим обе части на ctgx:

\( y’=\frac{ctgy}{ctgx} \)

Преобразуем ​\( y'(x)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \)

\( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ctgy}{ctgx} \)

Домножим на дифференциал dx:

\( \mathrm{d}y=\frac{ctgy\mathrm{d}x}{ctgx} \)

Разделим обе части на ctgy:

\( \frac{\mathrm{d}y}{ctgy}=\frac{\mathrm{d}x}{ctgx} \)

При делении теряется решение \( y=\frac{\pi}{2} \)

Проинтегрируем обе части уравнения:

\( \int\frac{1}{ctgy}\mathrm{d}y=\int\frac{1}{ctgx}\mathrm{d}x \)

Вычислим интегралы:

\( \ln(\cos{y})=\ln(\cos{x})+C \)

Используем формулу ​\( e^{\ln{\alpha}}=\alpha \)​:

\( \cos{y}=e^C\cos{x} \)

\( y=\arccos(C\cos{x}) \)

Ответ к задаче

Ответ: y=arccos(Ccosx), решение y=π/2 входит в решение при C=0.

Читайте также:  Найти общий интеграл дифференциального уравнения (3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.