Задание 30. Сферическую оболочку воздушного шара делают из материала, квадратный метр которого имеет массу 1 кг. Шар наполняют гелием. Атмосферном давление 105 Па равно давлению гелия в шаре. Определите минимальную массу оболочки, при которой шар оторвётся от земли. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна 0 °С. (Площадь сферы \( S=4\pi r^2 \), объём шара \( V=\frac{4}{3}\pi r^3 \).)
Решение задачи
Запишем для шара второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось в момент его отрыва от земли:
\( F_{А}=m_{He}g+m_{об}g \)
Где FА — сила Архимеда, действующая на шар.
Выразим силы через радиус шара r:
\( ρ_{Ат}g\frac{4}{3}\pi r^3=4b\pi r^2g+ρ_{He}g\frac{4}{3}\pi r^3 \)
Где ρАт — плотность атмосферного воздуха, ρHe — плотность гелия, b=1 кг/м2 — отношение массы одного квадратного метра оболочки шара к его площади.
Отсюда найдём радиус шара:
\( r=\frac{3b}{ρ_{Ат}-ρ_{He}} \)
Из уравнения Менделеева-Клапейрона найдём плотности гелия и воздуха:
\( pV=\frac{m}{M}RT \)
\( ρ=\frac{m}{V}=\frac{Mp}{RT} \)
\( ρ_{He}=\frac{M_{He}p}{RT} \)
\( ρ_{Ат}=\frac{M_{2}p}{RT} \)
Найдём радиус, объединив полученные выражения:
\( r=\frac{3bRT}{p(M_{2}-M_{He})}≈2,7 \) м.
Следовательно, искомая масса оболочки равна:
\( m=4\pi r^2b \)
Подставим числовые значения в конечную формулу.
\( m=4*3,14*2,7^2*1≈91,6 \) кг.
Ответ к задаче
Ответ: m ≈ 91,6 (кг).
